Кое-что о простых категорических силлогизмах и связи их с математической логикой.
Силлогистика Аристотеля, ныне почти забытая, всего лишь около века назад была единственным логическим аппаратом.
Математики-логики в своих трактатах и учебниках указывали четыре фигуры аристотелевских силлогизмов и перечисляли 19 их модусов.
1)Суждение и силлогизм здесь не определяются, а лишь намёком даны некоторые понятия и соотношения, необходимые для этой статьи. Более полную и строгую информацию о суждениях и силлогизмах, равно как и описание правил силлогизмов и ошибок силлогизмов, можно получить в Логическом Словаре-справочнике, составленном Н. И. Кондаковым.
Предпошлем нашему размышлению некоторое вводное напоминание1). Силлогизм — это группа из трех суждений, кои связаны таким образом, что из первых двух (именуемых посылками) следует третье (заключение). «Следование» надо понимать в том смысле, что при истинности обеих посылок заключение всегда истинно.
Под суждением понимается некоторое высказывание. Приведенное к нормальной форме, оно имеет следующий вид:
| все некоторые ни одно |
x-предметы | суть не суть |
y-предметы |
Приводимое ниже высказывание, имеющее некоторое содержание, является примером суждения в нормальной форме:
| ни один | ягненок | не есть | животное, имеющее обыкновение курить сигары |
Эти четыре части суждения называются:
| знак количества | субъект | связка | предикат |
Субъект, равно как и предикат, имеет второе наименование — термин суждения. Оно используется в том случае, когда нет надобности уточнять, о чем именно идет речь. Так, в приведенном выше примере «ягненок» и «животное, имеющее обыкновение курить сигары» суть два термина суждения.
Напомню четыре вида категорических суждений:
общеутвердительное ( A ): все x суть y
( 
ξ (X(ξ)→ Y(ξ)), или X 
Y );
частноутвердительное ( I ): некоторые x суть y
( 
ξ (X(ξ) ^ Y(ξ)), или X 
Y 
);
общеотрицательное ( E ): ни одно x не суть y
( ξ (X(ξ)→ Y (ξ)) , или X Y , или X Y 
);
частноотрицательное ( O ): некоторые x не суть y
( ξ (X(ξ) ^ Y (ξ)), или X Y );
Сразу же бросается в глаза первое отличие суждений силлогистики от их «эквивалентных» форм в математической логике: отрицательная связка становится положительной, а отрицание переносится на предикат (признак). Хотя безразлично, сказать ли «некоторые x не суть y» или «некоторые x суть не-y», как отмечает Льюис Кэрролл, логики отдавали большее предпочтение отрицательной связке, нежели отрицательному предикату.
Каждое из трех суждений силлогизма имеет некоторый субъект и предикат. По терминологии, принятой в аристотелевской силлогистике, субъект и предикат заключения являются меньшим и большим термином силлогизма, соответственно.
Для того чтобы из посылок могло следовать некоторое заключение, суждения-посылки должны быть каким-то образом связаны. Связь эту осуществляет их общий термин, который не входит в заключение силлогизма. Его называют средним термином ( M ).
Теперь вернемся к фигурам и модусам. Различными положениями среднего термина определяются четыре фигуры:
Следует помнить, что в заключении, согласно Аристотелю, всегда указывается
Вид составляющих силлогизм сужений определяет его модус. В аристотелевской силлогистике Петр Испанский (позже папа Иоанн XXI) предложил мнемонические имена для модусов силлогизмов. Гласные, входящие в эти имена, указывают вид суждений, составляющих силлогизм.
Итак, мы подошли к главной части нашего повествования.
Обратимся к силлогизму, имя которого — BRAMALIP. Это первый модус четверной фигуры. Суждения, его составляющие, имеют вид A A I :
- все … суть …
- все … суть …
- некоторые S суть P
Четвертая фигура силлогизма имеет вид : ; стало быть, этот силлогизм выглядит так:
- все P суть M
- все M суть S
- некоторые S суть P
(Следует заметить, что логики, пользовавшиеся аппаратом силлогистики, этот путь проделывали в обратном порядке: сначала определяли нужную фигуру, а затем модус используемого силлогизма, поскольку правильное умозаключение можно было получить только по правилам силлогизмов.)
Теперь запишем посылки на языке теории множеств: ( P M ) & ( M S ) ; следует ли отсюда, что P ? S , то есть «все P суть S», но в таком случае субъект и предикат заключения меняются местами, и этот силлогизм, меняя свой модус ( A A I на A A A ), также меняет и фигуру (четвертую на первую), то есть становится силлогизмом BARBARA.
Из рассмотренного выше примера заметно, что понятие большего и меньшего термина в какой-то мере искусственно, и даже кажется, что фигура силлогизма не есть существенный его признак. Последнее верно не совсем, и это «не совсем» состоит в удивительной симметричности фигур относительно перестановки посылок: первая симметрична четвертой, а вторая и третья — сами себе. Именно этот факт натолкнул меня на мысль составить сводные таблицы возможных силлогизмов в том виде, в каком они представлены в дополнении.
Вернемся опять к BRAMALIP’у и, дописав наш вывод, внимательно на него посмотрим:
- все P суть M
- все M суть S
- некоторые S суть P | все P суть S
Очевидно, что суждения «некоторые S суть P» и «все P суть S» различны, и различие это состоит прежде всего в том, что второе суждение содержит в себе утверждение: «ни одно P не суть не-S».
Здесь мы обнаруживаем еще две проблемы: проблему эквивалентности суждений (и высказываний) и проблему существования субъекта суждения. Ниже я привожу некоторые пути решения первой проблемы и, не вдаваясь в подробности, лишь даю контрпримеры, чтобы показать, что все они в равной мере тернисты. Затем последуют размышления о существовании субъекта суждения в разных видах суждений.
Итак, первый путь: понимать под эквивалентностью суждений их логическую эквивалентность в смысле их одновременной истинности. В качестве контрпримера рассмотрим следующие суждения:
«все земные существа суть русалки»
«некоторые земные существа суть химеры» и
«все земные существа суть химеры».
Они все тождественно ложны и в этом смысле эквивалентны, однако, эти суждения имеют разные знаки количества и предикаты их являются понятиями разных объемов.
Второй путь: суждения признавать эквивалентными, если их соответственные термины есть понятия равных объемов. Контрпример составляют два суждения: «некоторые планеты суть небесные тела» и «некоторые небесные тела суть планеты» — и желание иметь результатом обращения суждений суждение, эквивалентное исходному.
2)Оставляем этот вопрос специалистам по теории информации и философам. Вызывает симпатию подозрение, что единица информации бит каким-то образом связана с Джоулем, метром и секундой, так что в каком-нибудь фантастическом романе информацию, возможно, будут измерять в калорифере с помощью линейки и хронометра.
Третью точку зрения на эту проблему можно найти в книге Льюиса Кэрролла «Символическая логика»: «Два суждения, содержащие одну и ту же информацию, называются эквивалентными». Но что значит «одна и та же информация»2)?
Я оставляю в стороне исследование вопроса о том, при каких дополнительных условиях каждый из этих путей становится приемлемым, или в каких пропорциях их можно смешать, чтобы получить строгое и эффективное понятие «эквивалентность», равно как и упоминание и исследование других возможных подступов к решению этой проблемы. Благодаря интуитивной прозрачности (сколько бы проблем она за собой не скрывала), я отдаю предпочтение третьей точке зрения.Приступая ко второй проблеме, проблеме существования субъекта суждения, вернемся к рассмотрению вопросов, возникших в результате исследования BRAMALIP’а : каково взаимоотношение суждений «некоторые S суть P» и «все S суть P», содержит ли второе суждение в себе первое, и чем они могут различаться помимо знака количества.
Посмотрим, как интерпретирует их и как отвечает на этот вопрос математическая логика. Запишем эти суждения на языке теории множеств: P P , соответственно. Как видно из этой записи, первое суждение содержит в себе утверждение о существовании своих терминов (и даже обоих), в то время как во втором такого предположения не содержится.
Однако проблема существования субъектов суждения в разных логических системах решается по-разному. Льюис Кэрролл в уже упоминавшейся книге предлагает придерживаться той точки зрения, согласно которой общеутвердительное суждение содержит в себе частноутвердительное и по сему содержит утверждение о существовании своего субъекта (для него представляет интерес существование только субъекта). Но в приложении он отмечает, что наряду с рекомендуемой точкой зрения (A-суждения и I-суждения содержат утверждение о существовании своего субъекта, а E-суждение не содержит), возможны и другие (например,
Льюис Кэрролл прерывает свое рассмотрение следующими словами: «Согласно другой теории, из суждения “все x суть y” иногда следует, а иногда не следует, что x действительно существует. Не обращаясь к конкретной форме суждения, мы не можем заранее сказать, как именно надлежит интерпретировать это суждение. В пользу такой теории, казалось бы, говорит наш опыт, однако принятие ее сопряжено со столь большими трудностями, что я счел за благо даже не упоминать о ней в первой части “Символической логики”, которую мне хотелось сделать как можно более доступной для начинающих».
По-видимому, в системах математической логики считается, что частные суждения ( I и O ) содержат утверждение о существовании своего субъекта (и, как мы видели, предиката), а для общих суждений это решается особо.
Мне более импонирует та точка зрения, которой Льюис Кэрролл предлагает придерживаться начинающим, поскольку в ином случае необходимость отвергнуть некоторые силлогизмы классической формальной логики, а именно, DARAPTY, FELAPTON и FESAPO, удручает; ведь
|
, |
|
и |
|
в интерпретации теории множеств есть
( M P ) & ( M S ) => ( S P );
( M P ) & ( M S ) => ( S P );
( P M ) & ( M S ) => ( S P );
что не всегда верно, а, следовательно, не является правильным силлогизмом.
Таким образом мы выделили три незначительных отличия формальной логики от математической логики и две проблемы, первая из которых может считаться существенным отличием:
| Формальная логика | Математическая логика |
| отличия: | |
| 1. тесно связана с реальным языком, позволяет сразу (или почти сразу) применять «формы мысли»; | требует интерпретации; | 2. предпочтение отдается отрицательной связке, а не отрицательному признаку; | отсутствиеотрицательных связок, а все отрицание (если оно есть) относится к признаку (предикату); |
| 3. жесткая привязка к большему и меньшему терминам силлогизма и различие фигур силлогизмов; | отсутствие фигур, замена перечисления правильных силлогизмов аксиомами и правилами вывода; |
| проблемы: | |
| 1. существование субъекта для разных видов суждений: | |
| существует для обще- и частноутвердительных суждений (Льюис Кэрролл) | существует для частноутвердительных и частноотрицательных суждений. |
| 2. эквивалентность суждений и «измерение» информации. | |
Из всего выше сказанного мы видим, что замена высказываний «все S суть P» и «некоторые S суть P» выражениями теории предикатов ξ (S(ξ)→ P(ξ)) и ξ (S(ξ) ^ P(ξ)) весьма произвольна, равно как и теоретико-множественная интерпретация их выражениями S P и S P . Произвол содержится в том, что разные логики по-разному решают вопрос о том, какие суждения содержат утверждение о существовании своего субъекта. По сему во время математической интерпретации формально-логических систем изменяется объем информации.
